7. 如何攻克壓軸題？_第二章 而你要在這個區間上求的一個最小值

而你要在這個區間上求的一個最小值，這才是你問題的關鍵。

所以說你會發現這道題目他是在繞來繞去繞來繞去把你學會的基本上所有的事情都給你整合到一塊去了啊。

那麼最後、這個關於含參量的二次函式在定義區間上求最值究竟應該怎麼求？

這就不是我今天要講的重點了。

實際上你們初中的老師就應該跟你們講過它的解法，核心是你要判斷對稱軸與區間的相對位置關係就行，對稱軸究竟是在區間中點的左側還是右側，這你需要做一個分類討論，具體的細節我就不在這裡展開講了。

這道題目考了哪些知識點？

我花這麼多時間來跟大家講這道題目的每一個步驟，是想要跟大家說：你會發現以後你在高考考場上碰到的壓軸題都是這種情況——這種題目非常難，非常難得分，但是這些難題的「難」絕對不是在於它用了哪一個特別拐彎抹角的知識點。

其實就像我之前剛剛講的，如果說你現在是一個高三的學生，整個高中知識都學完了，你會發現這道題目中用到的知識點哪一個你沒有學到？

導函式的四則混合運算，鏈式法則，函式與導函式的對應關係，不等式與函式最值的關係，三角函式求最值的化簡原則，二次函式在定區間上求最值的基本原理——每一個知識點都是非常自然的內容，如果單獨拿出來考察，任何一個普通的學生都能拿到分數。

…

這是我做了一張整理的圖片，你會發現這道題目，我們從頭到尾再把它縷一遍的話它用到了什麼樣的東西呢？

第 1 步你要導數的運算：導數的運算裡邊我講過有初等函式簡單初等函式的導數、導數的四則運算、複合導數的鏈式法則；

第 2 步你還要知道導數的意義：最主要的是說導數與導函式的關係；

第 3 步你要知道三角函式求最值怎麼求？三角函式方程的簡化應該怎麼簡化？簡化的過程當中標準方程的簡化有什麼原則？就是次數對齊係數對齊，如果說次數和係數不能同時對其的時候有一個特例要轉換，把它變成了一個二次函式求最值；

第 4 步是：二次函式在定區間上求最值有什麼樣的方法？以及二次函式求最值在含參量的情況下，分類討論的基本原則是什麼？

——這所有的這麼多考點，期指一算至少有 10 個，如果他把它糅合在那一道題目中，這些考點就像一個串聯電路，你一個知識點不會，整道題目就崩盤了。

所以這道題目談到這兒，就引出了我想告訴你的最重要的一個認知。

關鍵認知：高考壓軸題難在哪裡？

高考的難題，它並不是哪一個知識點非常偏非常怪，你想不到、或者沒學會——事實上你會發現每一個東西你都是會的，但是當很多知識點整合在一起時，整個題目的難度係數就會呈指數型增長。

一個題目給你 1 到 2 個知識點，你會感覺得心應手。

5 個知識點你就會感覺稍有難度了。

如果我給你整合 10 個知識點在一道題目中呢？

你會發現自己的思路就像過山車一樣，需要根據具體的情況不停進行重新定向，那麼這道題目就會變得非常「複雜」。

…

我今天跟大家拿著這道題目一步一步拆開，並不是想要跟你講這個題目本身，我只不過是想跟大家解釋一下：高考的壓軸題目之所以難，其實並不是他「特殊」，而是因為他「複雜」——而它綜合的每一個小的知識點，你都是能理解，並且可以學會的。

如果你楞要理解壓軸題的難度在於它的知識點太偏太怪，那你對它的判斷從根子上就是錯的。

所以，壓軸題儘管整體上難度很大，但你並不是每一步都不會做，天然就應該直接放棄，你要深刻地意識到：壓軸題的每一步用到的那些知識點你都是能學會的，你應該一步一步的，把它全部都理解透徹，下一次的時候也許他不會把相同的這些東西都給你整合到一塊，但是它可能換了一些其他的知識重新進行排列組合。

但無論題目用什麼知識點組合，每一步所需要的知識都是你常規能夠見到，你能夠理解的。

這就引出了一個非常重要的訓練策略，也是我們要講的重點內容：我希望大家在面對那些所謂的難題的時候，不要把他給看成一個整體，你只需把它看成一個一個具體的環節和步驟；不要老想著整體，當你把你的目光從整體收縮到區域性的話，你就會發現你手頭處理的那一個小環節都是你非常熟悉的已知的知識點，那些都是非常常規的東西，並不是不能解決的難題。

這就是我所謂的「祛魅」：壓軸題不是困難的題，而是複雜的題，你要動用一點庖丁解牛的精神，把它每一個部分弄清楚，一切就會變得自然很多。

複雜數學公式化簡的核心原則

在理解了高考數學中壓軸大題的思路構建模式之後，數學壓軸題不可避免地還會涉及一些具體運算。

高中數學題目大部分的計算並不會很複雜，一般情況下如果一道題目你算起來特別複雜，大機率的原因都是你把它想複雜了。

不過話又說回來，高考題目當中有會有 10-20 分左右的題目的確涉及了比較複雜的運算，這需要你特別小心得應對，稍有不當你可能就會算錯。

除了那種 3+2 被你算成 7 的愚蠢錯誤，其實造成你運算方面失手的原因只有兩種。

盲目並項計算而破壞原有代數結構

咱們先說一類簡單的。

一個有效的數學題目解答流程，必須保持題目中所有數學關係式的代數結構穩定，有時你的題目之所以越算越複雜，越算越亂，原因就在於你破壞了題目中關鍵的代數結構。

這些特定的結構就像你在組裝玩具時的模組化元件——生產廠家擔心你自己裝不好，特意把這些零件拼湊成了特定的模組，而你上手之後先把人家拼好的模組直接拆散。

結果可想而知。

比如說高考中「數列」這個部分有一道非常高頻的明星題形，就是讓你算差比數列的前 n 項和——所謂「差比數列」，求這種題目的前 n 項和的運算方法甚至都有一個自己的名稱，叫做「乘公比錯位相減法」。

這個方法沒有什麼思路上的技巧，純粹就是一些代數運算，但是運算的過程中很能體現我們數學上化簡一些複雜公式的基本原則，就是你的整個過程都不能破壞原始的代數結構。

「乘公比錯位相減法」的運算核心技巧是：你第一步乘公比的時候，一定要把這個公比乘到等比數列上去，而且不能夠進行盲目的並向運算，因為有些時候並向計算看起來是簡單了，但是它會損失原有的代數結構。

構造同類項

當然，你除了不能隨意破壞關鍵的代數結構之外，有些時候為了完成題目簡化，你還需要主動構造一些代數結構。

而高考所涉及的所有複雜算式化簡，背後均有一個統一的主旨：同類項。

這是一個非常純粹的邏輯性結論：對於複雜算式，只有能夠尋找並消除所有的同類項，原式才能得以形式上的化簡。

除此之外，括號的拆分、通分與合併、甚至是帶入消元，都只是「同類項」這個主線背後的輔助手段。

至於有些老師建議學生「實在沒辦法了就把括號拆了試一試」——這簡直是飲鴆止渴。

因為有時，拆開兩個均含兩項的括號，你有可能得到的是一個四項式——假使沒有什麼可以抵消的東西，亂拆括號不但不會讓你的式子簡化，還會越拆越亂。