7. 如何攻克壓軸題？

如何攻克壓軸題？

高中數學提分手冊：明晰高考套路，學習事半功倍

如果你的成績目前已經穩定在了班級的中上游，數學考試成績每次都不低於 120 分。

那麼這時，制約你成績提升的最主要因素一定是試卷上的壓軸題。

接下來我們就一起建立兩個關鍵認知，幫助你理解壓軸題的解構原則。

壓軸題不是難題而是複雜題

許多老師和學生都認為：壓軸題之所以「難」，是由於題目涉及了難以想象的構造技巧，或使用了生僻而不常用的知識點。

他們把壓軸題貼上了「偏題怪題」的標籤。

更有一些老師，試圖建議學生使用超越考綱的高等數學工具對其進行解答。

類似的想法，首先嚴重違背了高中數學教學和學習的科學性，還給你造成了一種誤導：就是它讓你認為這些題目和常規的考點就是不一樣的，壓軸題涉及的考點是在另外一個次元中的，屬於更高一級的知識。

其實這就是一種非常刻板的印象。

例題分析：解剖一隻麻雀

我們來拿一道非常普通的壓軸題來向你解釋一下你的這個認知到底有什麼問題：

…

我們來分析一下這道題目，你就會發現這道題的難點跟你想象得還不太一樣，大家可以看我在筆記紙的左側劃了四個點，一共是四步。

我們回道這道題目：先看第一步，我的做法是對這個函式求導。

那你為什麼會想到「求導」這種操作呢？

這就牽涉到了這個《導函式》部分的一個知識點：導數與函式之間有一個對應關係——「一個函式的導數的正負就決定要整個函式的增減」。

換句話說，導函式的符號是能確定原函式的單調性的——這就跟題目中說到的「單調遞增」這個詞對應上了。

這就是我一直強調的「知識是重要的，但是知識點的使用方法、知識的考法是更重要的」。

比如：一提到外接圓你就應該想起來「正弦定理」。

對於這道題目，提幹條件說這個函式在整個實數範圍內單調遞增，意味著什麼？

不就是說導函式恆正嗎？

所以說，你這個題目中一看到單調，他的第一步就要求導。

當然，在求導的時候，你會發現它的運算過程也並不是非常簡單的：

這一步的求導不僅涉及到導數的四則混合運算，還有一個鏈式法則——也就是中間的一項 -1/3 · sin2x ,這是一個典型的複合函式。

等於說這一步，這道題目就考了 3 個知識點：

1、函式與導函式的對應關係；

2、導數的四則混合運算；

3、複合函式求導的鏈式法則。

這就牽涉到老師在講解「不等式」的時候給大家提到的一個關鍵用法了：不等式的一個重要的證明方法就是將一個不等式的問題轉化為函式求最值的問題。

比如這裡：導函式大於等於 0。

其實就是說這個東西的最小值要比這個數還要大。

換言之，這道題目在這兒轉向成為了「三角函式求最值」的問題。

你把這個三角函式的最值給我算出來。

因為這個式子的係數含有參量 a 嘛，所以你算出來的那個最值一定也是和 a 相關的。

那麼這個數要大於 0，就相當於解一個跟 a 相關的不等式，這個 a 的取值範圍就定出來的，這個題目要說也就是這麼個思路。

但是你不要以為這道題到這兒就結束了，它的下一步計算還蘊含了更多細節，我下面繼續把這其中的細節給你掰開揉碎講清楚。

更多細節：進一步的分析

如果你對高中數學三角函式求最值的基本邏輯清楚，你就會知道這種情況下你的策略應該是「優先把 x 的係數給化統一」。

他的次數可以不統一，但是我把它們整體代換成一個二次函式，也就是說我利用 y=cox 。

我把 cosx 當做整體代換掉，把它給降成一個二次函式，在二次函式上邊來解決它的次數問題。

也就是說：到這兒，我們的題目又發生了一次轉向。

這是我們的第二次轉向。

你最開始本來以為這是要求參量的取值範圍的問題，後來你求了導後發現這是一個三角函式求最值的問題；

但是在三角函式化簡的過程中你發現化不成標準式，然後你就得把它變成一個二次函式；

現在、這道題被歸成了「含參量的二次函式在定區間上求最值」的問題。

為什麼是定區間呢？

因為你這個 y=cosx 它的取值範圍是【 -1 , 1 】 ；

也就是說，你這個 y 的取值是【 -1 , 1 】，這是一個定區間；